Kontrol Teorisi

Doğa, evren, ve etrafınızda görüp duyduğunuz her somut şey matematiksel olarak tanımlanabilir. Matematik, evren kurallarının adıdır aslında. Bu kuralları kullanıp kendi lehimize çeviririz. Bu sayede cihazlar ve yeni aletler geliştiririz. Şu anda, matematiği kullanarak geliştirdiğimiz otomatik kontrol sistemleri sayesinde çok kısa sürede milyonlarca ürün üretiyoruz, bu sistemler sayesinde hayatımızı kolaylaştırıyoruz ve rahat yaşıyoruz. Kontrol teorisi, herhangi bir şeyi kontrol etmek için oluşturulan kontrol sistemlerinin matematiksel modellerini inceleyip bu modellerden çıkarımlar yaparak daha iyi bir kontrol sistemi tasarlamamız için yöntemler geliştirmiştir. Aslında kontrol teorisi, saf matematik modeller içerir. Bu modeller, herhangi bir kontrol sistemine uyarlanabilir. Yani sizin kontrol sisteminiz, bir yazılım olabilir ve ya bir elektronik devre yahut bir mekanik sistem olabilir. Fakat bir kontrol sisteminin şekli ne olursa olsun mantıksaldır ve matematiksel olarak modellenebilir.

Tüm kontrol sistemlerene baktığımızda karşımıza iki çeşit kontrol sistemi çıkıyor. Bunlarda birincisi açık çevrimli kontrol sistemleri. Diğerleri ise kapalı çevrimli kontrol sistemleridir. Bir elektronik mühendisi olarak açık çevrimli kontrol sistemine, motor kontrol sistemlerini örnek olarak verebilirim. Basit bir motor kontrol sistemi, girişe verilen voltaj seviyesi ile motor hızını kontrol eder. Bu sistemde, girişte verilen voltaj seviyesinin her zaman çıkışta bir matematiksel karşılığının olduğunu söyleyebiliriz. Ben voltajı ne kadar arttırırsam motor hızı da belli bir katsayıda artacaktır. O halde açık çevrimli sistemlerin stabilitesinin her zaman korunduğunu ya da ideal şartlarda bozulmaması gerektiğini söylemek mümkün. Tabi motora vereceğim maksimum voltaj seviyesine kadar. Eğer giriş voltaj seviyesine “V” dersek ve yükseltme katsayısı da sabit bir sayı olacağından “K” dersek. Çıkış voltajının her zaman “K*V” olmasını bekleriz ki bu da sistemin her zaman “stabil” olması anlamına gelir. Ayrıca sistemin transfer fonksiyonu rasyonel olmadığı için matematiksel olarak transfer fonksiyonunu tanımsız yapabilecek değer yoktur.

Bir de kapalı çevrimli sistemler vardır. Bu sistemler genel olarak içerilerinde sensörler barındır. İsminden de anlaşılacağı üzere geri besleme hatlarına sahiptirler. Bu sistemlere, servo motorlar örnek olarak verilebilir. Basit bir servo motor, girişinden verilen voltajı çıkışına koyulan ve şaft pozisyonuna göre değişen potansiyometre voltajı ile kıyaslar ve motora bir ters, bir düz voltaj vererek motorun istenilen pozisyonda kalmasını sağlar. Kapalı çevrimli sistemlerin en büyük problemleri sistem stabilitesidir. Çünkü kapalı çevrimli bir sistemin transfer fonksiyonu ve ya çıkış fonksiyonu her zaman rasyoneldir. Ve rasyonel fonksiyonları tanımsız yapabilecek yani paydayı sıfır yapabilecek değerleri olabilir. İşte bu değerler sistemi matematiksel olarak öngörülemez yapar. Gerçekte sistemin stabilitesini bozar ve beklenmedik durumlara yol açar.

Burada önemli olan sistemin transfer fonksiyonunu bulmak ve en basite indirgeyebilmektir.  Servo motor gibi bir sistemin genel olarak RL devreler gibi tepki vermesi beklenir. Çünkü motorun içerisinde indüktör vardır.  Sistemin transfer fonksiyonu ve ya çıkış fonksiyonu RL devrelerde olduğu gibi zaman uzayda değişken yani diferansiyel olarak ifade edilir. Diferansiyel denklemlerle uğraşmak genelde zordur bu yüzden her zaman diferansiyel denklemleri laplace uzayda çözülmesi tercih edilir.

Burada “Controller” yükseltgeç yani opamptır. Belli bir Kc sabit değerde yükseltme yapar. “System” motorun da içinde bulunduğu bir RL devredir. “Sensor” ise motorun şaftına bağlanan potansiyometre çıkışıdır. Bu durumda sistemin laplace uzaydaki transfer fonksiyonu rasyoneldir ve paydayı “Sıfır” yapan noktalarda tanımsız olur.

Laplace uzayındaki bir denklemin tanımsız yapan değerlerinin pozitif çıkması, zaman uzayında zaman geçtikçe voltajın sonsuza gitmesi anlamına gelir. Yani stabil olmayan bir durumu belirtir. Mesela aşağıdaki bir RC devrenin çıkış fonksiyonlarına göz attığımızda laplace uzaydaki fonksiyonu tanımsız yapan değer negatif olduğu için zaman uzayında “e ” sayısının üzeri negatiftir. “e” sayısının üzerinin negatif olması zaman geçtikçe azalan bir değer verir. Ve fonksiyon sıfıra yaklaşır. Fakat eğer laplace uzayda paydayı sıfır yapan değer pozitif olsaydı yani zaman uzayında “e” sayısının üzeri pozitif olsaydı bu durumda sistem çıkışı zaman geçtikçe artan bir değere yani sonsuza giden bir değere sahip olurudu. Sonsuzluk tanımsız olduğundan stabil olmayan bir değere eşit olurdu.

Bu yüzden laplace uzayında transfer fonksiyonun ve ya çıkış fonksiyonunun köklerinin pozitif olması sistemin stabil olmaması anlamına gelir. Aynı şekilde bu kural zaman uzayı için de geçerlidir.

Bir sistemin transfer fonksiyonunun laplace uzayındaki tüm kökleri negatif ise sistem stabildir. Fakat, bu transfer fonksiyonunu laplace uzayında tanımsız yapan değerler, sistemin stabil olmadığı durumları gösterir. İşte bu değerlere bakıp sistemimizin hangi katsayılı yükseltgeçlerle ya da araçlarla tasarlayacağımızı görmüş oluruz. Bu konulara daha sonraki yazılarımda ayrıntılı değineceğim.

Referans: Gaziantep Üniversitesi, Prof.Dr. Ahmet Uçar Ders Notları