Yusuf Bülbül

An Engineer

Kontrol Teorisi-2

Bir önceki yazımda kontrol sistemlerinin çelişleri ve stabilitesinden bahsetmiştim. Şimdi de kontrol sisteminin stabilitesinin ne olduğu ve nasıl bir stabil sistem oluşturulabileceği hakkında konuşalım.

Elektronik kontrol sistemlerinde çoğunlukla opamplardan oluşturulan ve yükseltgeç görevi gören alt sistemler kullanılır. Kullanılan bu yükseltgeçlerin değerleri yani yükseltme miktarları açık çevrimli bir sistem için sorun değildir. Çünkü açık çevrimli sistemler stabil sistemlerdir. Bu yüzden yükseltgeç değerleri de sistem stabilitesini etkilemez. Fakat kapalı çevrimli bir sistem için sisteme yerleştirilen yükseltgecin yükseltme miktarı sistemin stabilitesini bozabilir. Burada dip not olarak stabiliteden ne kast-ettiğime de değinmek istiyorum; bir sistemin stabil olması demek sisteme verilen input değerinin sistem içerisinde zamanla alçalarak yahut yükselerek outputta beklenen değere ulaşması demektir.

Şimdi kapalı çevrim bir sistem düşünün. Örneğin bir servo motor kontrol sistemini düşünebilirsiniz. Servo motorlar kapalı çevrim sistemlerdir. Aşağıdaki şemada gördüğünüz üzere sistem, motorun outputundaki pozisyonu potansiyometre ile kontrol eder ve inputa yönlendirerek motor pozisyonunun kontrolünü sağlar.

 

Bu sistem, motorun kontrolünü sağlamak için yükseltgeçler kullanır. Yani sistemimizin şematiği ve transfer fonksiyonu şu şekilde olur;

Burada K yükseltgeçtir. G(s) motordur, H(s) ise sensördür yani motorun çıkışındaki potansiyometredir. Bizim amacımız sistemin stabilitesini incelemek olduğu için sistemin transfer fonksiyonunu gerçekte öngörülemez yapan yükseltgeç değerlerine bakmak olacaktır. Çünkü yükseltgeç değeri sistemin transfer fonksiyonunu sonsuz yapan değerleri de değiştirir. Sistemin transfer fonksiyonu matematiksel olarak sonsuz olursa sonsuzun gerçekte karşılığı olmadığı için verilen tepki öngörülemez. Root Locus grafiği bize hangi K değerinin sistemin stabilitesini bozduğunu gösteren bir grafiktir. Bu yüzden dizayn ettiğiniz bir servo motor kontrol sistemine yerleştirdiğiniz yükseltgeçlerin değerleri bu grafik baz alınarak seçilmesi gerekiyor.

Mesela şöyle bir sistem olduğunu düşünün;

Bu kontrol sisteminin transfer fonksiyonu şudur;

Bu transfer fonksiyonunu sonsuz yapan, diğer bir değişle sistemin output voltajını öngörülemez yapan paydadaki s = (-K-1)/K değerleridir. Ve gördüğünüz gibi bu “s” değerleri “K” yükseltgeç değerine göre değişir. K değerlerinin değişimi s değerlerini nasıl değiştirdiğini görmek istiyorsak bu durumu grafiğe dökmemiz gerekiyor. Şimdi K yükseltgecinin değerlerini 0 dan sonsuza kadar değiştirmeye başladığımızda s=-1 noktası K değerlerine göre hareket edecektir. Fakat burada önemli olan nokta şudur ki K değeri negatif olamaz. Çünkü yükseltgeçtir.

K= 0 iken transfer fonksiyonunu sonsuz yapan “s” değeri sonsuzdur ve K değeri arttıkça yani sonsuza yaklaştıkça transfer fonksiyonunu sonsuz yapan “s” değeri de “-1” e yaklaşır. (Hospital Kuralıyla (-K-1)/K fonksiyonunu K=sonsuz için çözdüğümüzde s=-1 çıkar). Eğer “s” değerine “-1” den büyük bir değer verirseniz; Bu sefer “K” değeri negatif olur ve K negatif olamayacağı için “s”, “-1” den büyük değer alamaz. (Bu yüzden reel eksen üzerinde kendisinin sağında tek sayıda sıfır ya da kutup bulunduran doğru parçaları root locus’un geçmesi muhtemel bölgelerdir.) Bu durumda K değerleri sıfırdan sonsuza doğru değiştikçe sistemin transfer fonksiyonunun polleri de “-1″ den ” eksi sonsuz” a hareket eder. Yani sistemin Root locus grafiği yukarıdaki grafiktir. Bu durumda sistem tüm K değerleri için stabildir. Çünkü sistemin polleri K’nın değişimi boyunca negatiftir. Sistemin pollerinin negatif olması ilk yazımda örnek olarak verdiğim RC devre ile benzer stabil davranışa sahip olmasını sağlar.

Root Locus çizimini basitleştirmek adına yapılması gerekenler maddeselleştirmiş. Şimdi bu prosedürlerden bahsedeyim.

1-) Toplam transfer fonksiyonunun paydasına bakılarak s-düzlemine poller ve sıfırlar yerleştirilir ve Reel eksen üzerinde root locus çizgilerinin geçebileceği yerler işaretlenir.

Reel eksen üzerinde root locus eğrilerinin geçebileceği yerler açı şartını sağlar. Buna göre reel eksen üzerinde kendisinin sağında tek sayıda sıfır ya da kutup bulunduran doğru parçaları root locus’un geçmesi muhtemel bölgelerdir. Bu yerler K değerini negatif yapmayan yerlerdir. Çünkü K değeri negatif olamaz.

Açı şartı dediğimiz şey şudur;

fonksiyonu transfer fonksiyonunu sonsuz yapan “0” değerine eşit olduğunda KG(s)H(s) fonksiyonu “-1” e eşit olur. “-1” noktasının laplace düzleminde açısı -180 derecedir. Yani KG(s)H(s) fonksiyonunun açısı -180 derece olmalıdır.

2-)Asimtotların sayısı ve aralarındaki açılar belirlenir.

Asimtot dediğimiz şey, “s” sonsuza giderken 1+KG(s)H(s) fonksiyonunun yaklaştığı doğrudur. Bu doğruda bazen K ” 0″ dır bazen “sonsuz” dur. Bu, toplam transfer fonksiyonunun payındaki açık çevrimli fonksiyona bağlıdır. Eğer rasyonel bir fonksiyonsa K sonsuza gider. Rasyonel değilse “0” a gider. Transfer fonksiyonunuzda kaç tane polünüz varsa K değerinin değişimi aslında o kadar sayıdaki pol’ün değişimini,o kadar sayıdaki polün sonsuza gitmesini sağlar. Fakat eğer fonksiyonunuzda sıfırlarınız da varsa bu durumda sıfır sayısı, değişim gösteren pol sayısını azaltacak yönde etki eder. Doğal olarak Pol sayısı P sıfır sayısı Z olmak üzere asimtot sayısı = P-Z kadardır.

Asimtotlar arasındaki açı ise

bağlantısıyla bulunur.

Örneğin 5 kutubu 2 sıfırı olan bir transfer fonksiyonunun pozitif reel eksenle 60,180,300 derece açı yapan üç asimtotu vardır.

Bunun ispatı şuradan geliyor şöyle ki;

dersek,

olur. Burada q kadar asimtot olduğu ve aralarındaki açının 180/q olduğu görülüyor.

3-)Asimtotların kesiştiği nokta belirlenir.

Reel eksen üzerinde olan bu nokta

formülüyle bulunur.

Buradaki “toplam P” ifadesi bütün-sistemin kutuplarının toplamını, “toplam Z” ifadesi ise bütün-sistemin sıfırlarının toplamını ifade eder. Paydadaki ve Z ise sırasıyla kutup ve sıfırların ‘sayısını’ belirtir.

Formülün ispatı şu şekildedir; Transfer fonksiyonunun pay ve paydası ayrı ayrı şu şekilde ifade edilebilir;

o halde yukarıdaki kalıbı limit içerisine yerleştirirsek;

Bu fonksiyonu serileri kullanarak kullanabileceğimiz başka bir fonksiyona yaklaştırırız şöyleki ;

ve yaklaştığımız bu fonksiyon en kısa ifadeyle şu forma sokulabilir;

Burada yine küçük basitleştirilmiş form kullanıyoruz.

Yukarıdaki formu basitleştirirsek;

Böyle bir form elde ederiz. Bu formu bir yukarıda bulduğumuz diğer form ile birleştir isek

olur. Ve

olduğundan;

Olur. Bu durumda tüm asimtotların tek bir noktadan yani s=-σ, dan geçtiğini görebiliyoruz. Çünkü yukarıdaki fonksiyonu sonsuz yapan ortak değer s=-σ dır.

4-)Root Locus eğrilerinin ayrılma ve birleşme noktaları belirlenir.

Root Locus, kazancın reel eksen üzerindeki maksimum noktasında daha da artmaya devam ederse reel ekseni terk eder. Bu durumda sistemin polleri artık sadece reel değil karmaşık sayıdır. Bu noktalar artan kazançla pollerin hareketine göre ayrılma ya da birleşme noktaları olarak adlandırılır. Bu noktalar:

formülüyle bulunur. Türev almamızın sebebi K nın reel eksen üzerindeki maksimum noktasını bulmaktır. G(s)H(s) fonksiyonunun “s” e göre türevi bize K nın reel eksen üzerindeki maksimum noktasını verir. Bu denklemin bütün çözümleri ayrılma/birleşme noktası değildir. İlk olarak ayrılma birleşme noktaları 1. adımda belirlenebilen root locus eğrisini geçirebilecek aralıklar arasında olmalıdır. Bu aralıkta olmayan bir nokta ayrılma/birleşme noktası olamaz. İkinci olarak gerçek ayrılma noktaları transfer fonksiyonuna yazılıp çözüldüğünde pozitif K değeri verirken diğer noktalar negatif K değeri verir.

5-)Eğer karmaşık pol/sıfır varsa: Ayrılma ve birleşme açıları belirlenir.

Root locus eğrilerinin kompleks pol ve sıfırlara yakınlaşırken nasıl bir yörünge çizerek ulaştığı önemlidir. Bunu anlamak için ayrılma ve birleşme açıları incelenir. Eğer poller/sıfırlar reel eksenin üzerinde ise bu açıların önemi yoktur. Çünkü bu durumda root locus reel ekseni takip ederek pol/sıfırlara ulaşır. Dolayısıyla ayrılma/birleşme açıları sıfır ya da 180 derecedir.

6-)Karmaşık eksenin kesildiği noktalar belirlenir.

Son olarak root locus eğrisi karmaşık ekseni kesebilir. Bu noktada sistemin kutupları tamamen imajiner hale gelir. Karmaşık düzlemin kesildiği noktada root locus yarı düzlemler arası geçiş yapar. Bu yüzden karmaşık eksenin kesildiği noktalar sistemin kararlılığı için eşik oluşturur. Karmaşık eksenin kesildiği noktalar routh hurwitz kriteriyle ya da transfer fonksiyonunda “s” yerine jw koyularak bulunabilir. Bunun için büyüklük koşulu kullanılır yani;

Re{|KG(s)H(s)|}=1 dir. ve Im{|KG(s)H(s)|}=0 dır.

Root locusu çizdiğinizde bakılması gereken noktalar, eğrinin imajiner ekseni kestiği noktalardır. Çünkü eğri imajiner eksenden sağ tarafa geçtiğinde stabilite kaybolur. Stabilitenin kaybolması sağ tarafta “s” değerinin pozitif olmasından kaynaklanıyor. Doğal olarak Root locus’un imajiner ekseni kestiği noktalardaki K değerleri eşik değerdirler.Biraz daha arttırıldıklarında sistem stabilitesi kaybolur.

Mesela aşağıdaki root locus grafiğine bakarsak;

s=-1.612j noktasında K değeri 34.77 değerindedir. K değeri 34.78 olursa sistem stabilitesi bozulur. Bu grafiğin çözümü için bakınız:

http://tr.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6klerin_yer_e%C4%9Frisi

2 thoughts on “Kontrol Teorisi-2

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir